Matematik; "biçim, sayı ve çoklukların yapılarını, özelliklerini ve aralarındaki ilişkilerini us bilim yoluyla inceleyen ve sayı bilgisi, cebir, uzay bilim gibi dallara ayrılan bilim" olarak tanımlanmaktadır.
“Matematik insan zekasına dayanan bir bilimdir.” tanımı matematiğin sadece sözlükte geçen anlamıdır. Ancak "Matematik nedir?" sorusunu tek bir tanımla tam olarak yanıtlamak oldukça güçtür. Matematik akıl yürütme, olaylara değişik açılardan bakma yani bir perspektif işidir.Olaylara matematik mantığı ile bakmak demek değişik çözüm yolları üretmek demektir.Bir olaya veya nesneye olabildiğince çok açıdan yaklaşabilmek matematiksel akıl yürütmenin temelini oluşturur.
Sanat ;bir duygu , tasarı, güzellik vb.nin anlatımında kullanılan yöntemlerin tamamı veya bu anlatım sonucunda ortaya çıkan üstün yaratıcılıktır.
Sanatın tanımında geçen “kullanılan yöntemlerin tamamı" ifadesindeki bir olay veya nesneye bütün bakış açıları ile yaklaşmak matematiksel düşünce yapısı ile örtüşmektedir. Bizce matematiğin sanatsal yönü de burada ortaya çıkar. Örneğin bir Mona Lisa tablosu ilk bakışta bir perspektif harikasıdır.Burada bile bir matematiksel yön vardır.3 açıdan baktığımızda 3 farklı tablo.Perspektif; üç boyutlu cisimleri, iki boyutlu bir düzlem üzerinde göstermek için kullanılan bir araçtır.Perspektif, bakış açısı, yeni bulgular matematiksel akıl yürütmenin temelidir.
Estetik ise; Sanatsal yaratının genel yasalarıyla sanatta ve hayatta güzelliğin kuramsal bilimi, güzel duyu tanımı ile karşılaşırız.

Resim sanatı aritmetiği(oran-orantıyı) ve geometriyi (perspektifi) doğal bir biçimde içinde barındırır.

Boyutlar ve boyutlar arası geçişte de sanatsal bir yön aradığımızda da M.C.Escher ismi ile karşılaşırız. Matematiğin alt dalları olan; topoloji, permütasyon teorisi, geometri ve stereometri gibi dallarıyla uygulanması oldukça zor baskı tekniklerini kullanarak; emekleyen, yüzen, yükselen ama her zaman bir düzlemi kendi kopyalarıyla dolduran figürlerin oluşturduğu yaklaşık 150 eser ortaya koydu. Resim ve matematiği birleştiren eserleriyle tanınan Maurits Cornelis Escher eserlerinde yansımalara, sonsuzluğa, paradoks ve ****morfozlara yer verdi.Escher’in iç içe geçmiş bezemelerle dolu olan çizimlerini renklendirmedeki titizliği, renk simetrisi alanında çalışan matematikçi ve kristalogların daha sonraki çalışmalarına ışık tutmuştur.Bugün eserleri bu kavramları açıklamak için sık sık kullanılıyor. 1954'de Amsterdam'da yapılan Uluslararası Matematik Kongresi ile eşzamanlı gerçekleşen sergisi ve 1959 yılında yayınlanan ilk kitabı, "The Graphic Work ofM.C. Escher" (M.C. Escher'in Grafik Eserleri) bilim adamları ve matematikçiler üzerinde hâlâ süregelen bir etki yarattı. Escher, bu çalışmanın ardındaki asıl itici gücün "çevremizdeki doğada bulunan geometrik yasalara olan derin bir merak" olduğunu yazıyordu. Sanatçı, grafik çalışmaları ile fikirlerini betimlerken, bilimin temel fikirlerini belirgin görsel ****forlar kullanarak açıklıyordu.

Escher çizimlerini gözüyle gördüklerinden değil aklından ilham alarak yapmaya başladı. İnsan gözlemleri ve anlayışındaki belirsizliklerin portresini yapıp, kavramlara görsel tanımlamalar vermeye başladı. Böyle yaparak da kendini matematik kurallarının hüküm sürdüğü bir dünyada buldu.


DÜZLEMİ DÜZENLİ BÖLMEK:

Escher "düzlemin düzenli bölünüşü" (regular division of the plane) adını verdiği bir kavrama tutkundu. Yaşamı boyunca, emekleyen, yüzen, yükselen, ama her zaman bir düzlemi kendi kopyalarıyla dolduran figürler yapmaktaki dehasını kanıtlayan 150'yi aşkın renkli çizim yaptı. Bu çizimler birbirinden farklı birçok simetriyi resmetmektedir. Ancak Escher için düzlemin bölünmesi sonsuzluğun ele geçirilmesi gibi birşeydi.



Bu teknikle yaptığı resimlerinde sanatçı bir ya da birkaç motifi hiçbiri birbirinin üstüne gelmeyecek ve aralarında boşluk kalmayacak şekilde birbirlerini nasıl çevreleyebileceklerini araştırır. Bu yöntem matematikte düzlem doldurma problemi ile çakışır. Matematikçi daha global bir yaklaşımla bir düzlemde bulunan mozaik yapıdaki simetri gruplarını araştırıp tanımlamak ister. Escher bu işlemi çeşitli hayvan figürleri kullanarak fantastik bir şekilde icra eder.



Resimler arasında üçgenlerin hiperbolik mozaikler halinde döşendiği ve kendisinde bir şok yaratan; tam aradığı etkiyi veren birine rastladı. Escher, dairesel yayların kendilerini çevreleyen çemberin sınırlarında dik açıyla birleştiği bezeme kurallarını ortaya çıkardı.Buna benzer ağlar kullanarak oluşturduğu bu gruptaki en etkileyici olan çalışmaları hiperbolik düzlem kullandığı Circle Limit (Çember Limiti) serisidir. En sonuncusu "Circle Limit IV" (Dairesel Sınır IV) olan dört değişik illüstrasyon üretti.



Hiperbolik düzlem Öklid olmayan geometrilere örnek olarak Poincare tarafından geliştirilmiştir. Escher'in geç dönem baskılarının en genel örneği "ikilik"tir. Matematikte her önermenin bir "değin, her kümenin bir tümleyini vardır. Her durumda nesne ve ikiliği birbirinin üzerinde tamam olarak tanımlanır. "Circle Limit IV'da tam bir sınır çizgisi yok. Meleklerin ve şeytanların konturları birbirlerini tanımlıyor. Her ikisi birden hem figürdür hem de zemin. Bu hiperbolik bezemede figürler bizim Euclidean gözlerimize küçüldükçe bozuluyormuş gibi görünür. Ancak geometrik açıdan her bir şeytan ve melek bir diğeri ile aynı boyutta ve şekildedir. Çemberin sınırlarını terk etmeksizin sonsuz sayıda kopya tekrarlanır.



Simetri birçok matemetiksel ve fiziksel modele biçim veren yapısal bir kavramdır. Escher'in çiziminde kelebekler kağıdı rastgele dolduruyorlar gibi görünseler de, her biri hassas bir şekilde yerleştirilmiş ve çevrelenmiştir.Kelebeklerin kullanıldığı resminde olduğu gibi bir bezeme prensip olarak sonsuza kadar devam ettirilebilir ve bu sonsuzluğun bir öngörüsünü sağlayabilir. Escher sonsuzluğu tek bir kağıdın sınırları içerisinde görmekten mutluluk duyuyordu.

Escher, "İster zaman, ister mekân içinde olsun; durmaksızın sonsuzluğun derinliklerine dalmak isteyen herhangi birisinin sabit noktalara ihtiyacı vardır; aksi durumda devinimleri durağanlıktan ayırt edilemez olur" diye yazıyordu. "Evrenini, her biri diğerini sonsuz bir sıra ile takip eden bölmelere ayırmalı; belli bir uzunluğun birimleri ile sınırlamalıdır."

Figürlerin, merkezî bir birleşme noktasına doğru azalarak ama sürekli tekrarlayarak çizildiği birkaç resminden sonra, Escher tam ters yöne doğru ilerleyen bir azalmayı yaratacak yöntemler aradı. Sonsuza kadar tekrarlanan, kendini saran sınırlara daima yaklaşan, ama ulaşamayan figürler isterdi.

Escher bir dörtgen içerisinde sonsuzluk yaratma sorusuna kendi çözümünü buldu. Her eleman bir başkasının belli bir ölçeğe göre küçültülmüş (ya da büyütülmüş) hali olduğu, sürekli tekrarlanan "kendi-benzer" bir şekiller kümesi yarattı.

****MORFOZLAR

Bu seride yüzey figür ilişkisi çarpıcı şekilde vurgulanırken, imkansız olan boyutlar arası yolculuk da resmedilir. Doğada değişim anlamına gelen ****morfozlarda, düzlemdeki düzenliliği bozmadan sürekli deforme edilen şekiller birbirine dönüşür, gece gündüze, balıklar kuşa çevrilir.




Eserin konseptinde bir resim (karesel) mozaik bir modele dökülür ki bu farklı bir resmin hatlarını oluşturur. Soldan sağa doğru eser İtalyan Atrani kasabasının betimlemesi ile başlar. Burada, sanatçının başkalaşımı, Çinli bir bebekle Amalfi kıyısında bir kuleyi bağlar.



Sky and Water I 1938

İlginç bir şekilde kendi benzer motifler belirsizlikleri Escher'i kesinlikle eğlendiren kesirli, daha doğrusu fraktal boyutlu figürlerin örneklerini teşkil etmektedir, 1965 yılında "Değişmez bilinmezliklerimizle oynamadan duramıyorum. Örneğin benim için iki ve üç boyutu, düzlem ve uzayı karıştırmak; yerçekimi ile alay etmek çok eğlenceli" diye itiraf etmişti.

Escher, iki boyutlu çiftliğin gizemli bir başkalaşım sonucunda üç boyutlu kaza döndüğü "Day and Night" (Gündüz ve Gece) örneğinde olduğu gibi boyutları karıştırmak konusunda bir uzmandı.


Day and Night, 1938

Noktayı, çizgiyi, düzlemi ve uzayı birbirinden ayıran kavram boyuttur. Boyut algısındaki belirsizlikleri vurgulamak için, üç boyutlu bir sahne bekleyen gözlemciyi aldatan Escher bu resmi kullanmıştır. Day and Night'ta aşağıdaki damalı tahta şeklindeki tarlalar, iki kaz sürüsü haline dönüşür. Resim aynı zamanda, resmin kesilmeden ya da katlanmadan şekil değiştirdiği, topolojik bir değişimi de anlatır. Resimde yansıma ve ikilik de vardır: siyah kazlar aydınlık bir kasaba üzerinde uçarken, beyaz kazlar aynı sahnenin gece görüntüsünde uçmaktadırlar.

Genel bir görünüm oluşturmak için herhangi bir nesnenin farklı gözlem çerçevelerinden birkaç görünümünü birleştirmek gibi, panoramik çizim yöntemleri ile bilimin genel pratiğinde bulunan belirsizlikler ve çelişkileri belirtmekten de zevk alırdı.

PARADOKSLAR

Escher'in en vurucu işleri paradoks (çelişki) ve sonsuzluk kavramını işlediği resimleridir. İmkansız figürleri kullanarak inşa ettiği dünyalar bizi çelişkiye götürür. Döngüsel paradoksları yaratmak için kurduğu hiyerarşik düzenlerde sürekli yukarı ya da aşağı hareket etseniz de, hiyerarşinin gereğine rağmen, yine başlangıç noktasına gelirsiniz. Bu gibi döngüler Bach'ın müziğinde de yer alır. Bach müziğini bestelerken kanonlar sayesinde kurduğu döngüler içinde notaların harflendirilme sisteminden yararlanarak kendi adını sonsuz kere zikrettirir. D.R. Hofstadler ünlü Escher Gödel ve Bach adlı kitabında bu üç şahsiyeti döngüsel paradokslarda buluşturur. Bu yüzyılın en önemli matematik makalelerinden birini yazan Gödel, matematiği dizgeleştirme çabalarının sonuç vermeyeceğini, kendi içinden çıkıp kendine dönen bir paradoksun varlığını göstererek kanıtlamıştı

Print Gallery 1956

Escher'in Resim Galerisi adlı eseri kabaca bu kanıtın görsel ifadesidir. Önemli bir teorem ve ilginç bir resim aynı anlatıma ulaşıyor!
Resim ve matematik. Her ikisinin de soyutluk ve somutluk kavramları var. Soyut resim, teori matematik. İkisinin de amacı düşüncelerin akılda şekillenip 3 boyutlu dünyaya aktarılması. Maurits Cornelis Escher (1898-1971) her ne kadar kendisini ne sanatçı ne de matematikçi saymasada bu gerçeği görmüş, resim ve matematiği birleştirmiş ve ortaya imkansız eserler çıkarmıştır.

M.C. Escher, sürrealist nitelikler de çağrıştıran 1944'den sonraki yapıtlarında, göz yanıltıcı perspektifle mekansal yapıya şaşırtıcı bir üç boyutluluk kazandırmıştır.

Temel düzeyin dışında formal bir matematik eğitimi almamasına karşın, eserlerinde yer alan olanaksız nesneler, uzaysal yanılsama ve tekrarlanan geometrik şekiller matematikçiler tarafından büyük ilgi gördü. Işin ilginç yanı ise Escher kendisini ne sanatçı, ne de matematikçi olarak görmüştür

Escher, uzayın geometrisinin onun mantığını belirlediğini, benzer şekilde uzayın mantığının da onun geometrisini belirlediğini anlamıştı. Bazı eserlerinde içbükey ve dışbükey nesneler üzerindeki ışık ve gölgelerle oynayarak optik yanılsama yaratmıştır.

Relativity 1953

Relativity; Görecelik, gözlemcinin gördüğünün bulunduğu yer ve bakış açısına göre değişeceği anlamına gelmektedir. Escher bu resminde, genel bir görünüm oluşturmak için herhangi bir nesnenin farklı gözlem çerçevelerinden birkaç görünümünü birleştirmenin ne gibi çelişkilere neden olduğunu resminde ortaya koymuş.

Escher'in eserlerinin açıklığı, kolay okunurluğu, akıcı anlatımı, iyi kurgulanmış güçlü yapısı iz bırakıcıdır. Dikkatli bir göz sanatçının resimlerinde tanık olduğu gariplikleri kolay kolay unutmaz. Escher oldukça sofistike ve detaycı işçiliğiyle matematiğin örgüsüyle çakışır. Yaşamı süresince ve sonrasında çok tartışılmış bir sanatçı olan Escher, matematikçi olmasa da çalışmaları pek çok matematikçiyi etkilemektedir.

Escher'in üzerinde önemle durduğu diğer bir konu ise perspektiftir. Rönesans zamanında ortaya çıkan ve günümüzde projektif geometri adı verilen matematik alanının başlangıcını oluşturan perspektif kurallarına göre herhangi bir perspektif çizimde, gözler için sonsuzdaki noktalara karşılık gelen kaçış noktaları bulunur. Escher, bazı çizimlerinde alışılmışın dışında kaçış noktaları kullanarak paradokslar yaratmıştır.

Up and Down 1947

Beş ayrı kaçış noktası kullandığı "Up and Down"da, resmin üst yarısında yukarıdan bakılıyormuş gibi gördüğümüz sahne, resmin alt yarısında aşağıdan bakılıyormuş gibi görülmektedir.


Reptiles 1943

"Reptiles" adlı eserinde, kağıt üstünde yer alan zemin ve biçimin birbirine geçtiği iki boyutlu soyut çizim, ****morfoz ve yineleme yoluyla üç boyutlu somut figürlere dönüşmektedir. Göz yanıltıcı perspektifle mekansal yapıya şaşırtıcı bir üç boyutluluk kazandırmıştır.

Drawing Hands 1948

Escher'in 1948 de ki yapıtı olan "Birbirini Çizen Eller" adeta bize sonsuzluğu anlatır.

Development 1 -1937

Matematikte mozaik döşeme (tesslellation) olarak bilinen bu konu, sanatla içiçedir. Bir yandan uzayı ardarda tekrarlayan benzer yada eş figürlerle kaplama düşünülürken, diğer yandan insana sonsuzluk hissi veren bir sanat anlayışı ortaya çıkar.


M.C. Escher, Belvedere, 1958


Escher' in görsel yanılsama yaratırken kullandığı yöntemlerden bir diğeri ise, beynin iki boyutlu görüntüdeki görsel ipuçlarından oluşturduğu üç boyutlu nesneler üzerindeki ısrarcı varsayımlarıdır. "Belvedere" adlı eserinde, ünlü matematikçi Roger Penrose'un 1958'de yayınlanan görsel yanılsama konulu makalesinde açıkladığı "olanaksız üçgen"inden esinlenmiştir. Görsel ipuçları gözetleme kulesindeki sütunları hem önde, hem arkada gibi algılamamıza sebep olmaktadır. Önde oturan adam elinde "olanaksız bir nesne" tutmaktadır.



M.C. Escher, Waterfall, 1961
Escher, "Waterfall"da iki Penrose üçgeni kullanarak "olanaksız durum" yaratmıştır. şelaledeki, su aşağıdaki arktan yukarı akıp, tekrar tekrar dökülebilmektedir.

Çok güzel bir yazı çok teşekkürler casmin mutlaka sonuna kadar okunması gereken bir konu

Puddle, 1952

Yansıma, çok küçük, çok uzak ya da çapraşık fenomenlerin doğrudan anlaşılmasını sağlar. Resim, bakış açımızı korulukta tekerlek ve botlar nedeniyle oluşmuş olan ize yönlendiriyor. Bununla birlikte su birikintisinde ayın aydınlattığı gökyüzünün oluşturduğu fon üzerinde siyah ağaç siluetleri görünüyor. Escher resim ile görüş alanımızın altında, üstünde, kısaca dışında kalan dünyaları bize anımsatıyor.



Sürrealist akımın, resimdeki önemli temsilcilerinden olan Belçikalı Rene Magritte (1898-1967) ise eserlerinde çelişkilere ve imkansızlıklara yer vermiştir.
"The Blank Seeing"de arkada kalarak görünmemesi gereken ağaçlar, hatta boşluk ön plandaki atın önüne gelmektedir.



"The Empire of the Light" isimli yapıtında ise ön plandaki ışık ve gölgeler gökyüzündeki aydınlıkla çelişmektedir.

Optik Sanat olarak da bilinen Op-Art, yanılsamayı ön planda tutan geometrik bir sanat türüdür. Op-Art'ta biçimsel ilişkiler, görsel yanılsamalar elde etmek üzere düzenlenir. Biçimlerin ve renklerin sistematik kullanımıyla elde edilen Op-Art ürünlerinde etki, perspektif yanılsama ya da renksel gerilimden kaynaklanmaktadır.





Victor Vasarely'nin Keple Gestalt resminde yer alan öndeki prizma hem aşağı ve sola dönük hem de yukarı ve sağa dönük görülebilmektedir.



Torony-Nagy'deki küpler bazen çıkıntı, bazen girinti olarak algılanmaktadır.

Axo GJ'de ise resmin orta kısmında aynı yönde ve aynı düzlemdeymiş gibi gözüken kafesler, resmin alt ya da üst taraflarına bakıldığında düzlem değiştirmektedir



Mona Lisa tablosunu incelemeye devam ettiğimizde “Altın Oran” ile karşılaşırız buda matematiği perspektiften ziyade içerdiğini gösterir.
Altın oran, doğada sayısız canlının ve cansızın şeklinde ve yapısında bulunan orandır. Bir dikdörtgenin boyunun enine olan "en estetik" oranı diye de tanımlandığı olmuştur. Eski Mısırlılar ve Yunanlılar tarafından keşfedilmiş, mimaride ve sanatta kullanılmıştır.En çarpıcı şekilde Mısır piramitlerinde karşımıza çıkar.Büyük Piramit'in yapımında altın oranın bulunması bizce bir tesadüf olamaz.
Altın oran, 1 sayısına eklendiğinde kendi karesine eşit olan iki sayıdan biridir. Altın oran 1,618033.... olarak devam eden ondalık sayıdır. 1 sayısına eklendiğinde kendi karesine eşit olan diğer sayı da - 0,618033... olarak devam eden ondalık sayıdır.
Altın Oran, pi (π) gibi irrasyonel bir sayıdır ve ondalık sistemde yazılışı; 1.618*********4... dür. (noktadan sonraki ilk 15 basamak)
Altın Oranın ifade edilmesi için kullanılan sembol, PHI yani Φ 'dir.
Altın oran ile Fibonacci dizimi yakından alakalıdır.
Fibonacci dizimi İtalyan matematikçi Leonardo Pisano yada takma adıyla “Fibonacci” tarafından bulunmuştur.Bu dizimdeki her sayı kendinden önce gelen 2 sayının toplamına eşittir.

Kısaca altın orana “göz nizamının oranı” diyebiliriz.

Fibonacci Sayıları: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584,...
Fibonacci dizisinde bir sayıyı kendinden önceki sayıya böldüğünüzde birbirine belirgin şekilde yakın sayılar çıkar. Serideki 13. sırada yer alan sayıdan (233) itibaren bu sayı sabitlenir.Bu oran da bize altın oranı verir.

ALTIN ORAN = 1,618
233 / 144 = 1,618
377 / 233 = 1,618
610 / 377 = 1,618
987 / 610 = 1,618

Mona Lisa tablosuna dönelim:

Mona Lisa tablosunun boyunun enine oranı altın oranı verir. Mona Lisa'nın yüzünün etrafına bir dikdörtgen çizdiğinizde ortaya çıkan dörtkenar bir altın dikdörtgendir. Bu dikdörtgeni, göz hizasında çizeceğiniz bir çizgiyle ikiye ayırdığınızda yine bir altın oran elde edersiniz. Resmin boyutları da altın oran oluşturmaktadır. Leonardo Da Vinci bu sanat eserinde matematiği kullanarak eserine daha derin bir anlam katmıştır.Bu tablonun bir sanat eseri olmasındaki en büyük etkende bizce içerisindeki matematiksel ahenktir.




Özellikle "isa'nın Son Akşam Yemeği" adlı yapıtında kullandığı teknikler Rönesans döneminde İzdüşümsel Geometri(biçimlerin izdüşümlerinin özellikleri ve uzaysal ilişkileri ile uğraşan,matematiğin bir alanı) nin ilk sanatsal boyutu olarak karşımıza çıkmaktadır.Burada ressam iki boyutlu tuvale üç boyutlu bir manzarayı resmederken değişik uzaklık ve konumların manzaradaki öğeleri nasıl etkileyeceğine karar verir.Bu noktada çizim tekniklerinde perspektif(geometri) ve farklı doğruların bir odak noktaya göre hareketlerini (izdüşümsel geometri) dikkate alır.

"Matematik sadece doğruyu söylemekle kalmaz aynı zamanda onu güzelliğini de ortaya çıkarır."B.Russell bu sözüyle bilimin bir ahenk içersinde bulunması gerektiğini vurgulmaktadır.Çünkü insanlar gerçeklere ihtiyaç duyarlar fakat güzel olana yönelirler.Gerçeklerin çekiciliği de estetikle yani hoş görünmeyle sağlanabilir.G.H.Harddy "Dünyada çirkin matematik için asla daimi yer yoktur." sözüyle de öngörümüzü desteklemektedir.Sonuç olarak Matematikteki bir konuyu öğrenciye salt bilgi olarak değilde bir ahenk içersinde bir sanat icra ediyormuşçasına anlatırsak çekiciliği artar ve anlama kolaylaşır.M.C.Escher'in eserlerinde kullandığı simetri simetrik matrisler ve analitik geometrideki simetri ile eşleştirilebilir.

FRAKTAL SANAT

Fraktallarda da bir matematiksel yön vardır.Etrafımızda var ola gelen ama bizim yakın zamana kadar görmesini bilmediğimiz geometrik gerçeklerden biri de fraktallar; öyle bir cisim olsun ki hangi noktasını alırsak alalım büyütüp baktığımızda yine başlangıçtaki şekille karşılaşalım ve bu işleme ne kadar devam edersek edelim aynı olay tekrarlansın, işte fraktal, yani kendine benzerlik kavramının tanımı bu. Aslında doğa aynı doğa. Değişen tek şey matematiğin zenginleştirdiği algılama gücümüz.







Escher’in eserlerinde kullandığı sonsuzluk ve Magritte’nin eserlerinde kullandığı tanımsızlıklar limit ve süreklilik konusu ile ilişkilendirilebilir. Rene Magritte’nin “The Blanc Seeing” eseri limitteki belirsizlikler ile eşleştirilrbilir. Fraktallardaki sonsuzluk ise sonsuza yakınsama ile eşleştirilebilir.Örnrğin bir fonksiyonun limiti sonsuza yakınsıyor ise ne kadar gidersek gidelim hep bir sonsuza yakınsama vardır.Fakat hiçbir zaman somut bir ifadeye ulaşılamaz.Fraktallarda da ne kadar küçük parçalar alırsak alalım hep aynı şekli buluruz.Yani bir sonu yoktur bunun sadece bir sonsuzluk mevcuttur.
Reptilies adlı eserde boyutlar arası geçişi görmüştük.Bunu kürenin hacmi ve yüzey alanı ile ilişkilendirebiliriz.Türev ve integral birbirinin tersi olan bir değişim ifade etmektedir.Eserde de 2 boyuttan 3 boyuta yada tersten düşündüğümüzde 3 boyuttan 2 boyuta bir geçiş vardır.



Kadim Mısır Krallığı döneminin rahipleri bu üçgenin özelliklerinden haberdar mıydılar? Bu diagram Büyük Piramit'in dış hatlarını göstermektedir. Piramitlerin temelinde gördüğümüz üçgeni ele aldığımızda Altın Oranı ve Trigonometrik ilişkileri görürüz.Bu üçgen yardımıyla Altın oranı da kullanarak trigonometrik ilişkileri ortaya koyarsak bu fonksiyonların öğrencinin kafasında kalıcılığı sağlanmış olur.

Matematik ve Sanat Üzerine

Matematikle sanat oldukça farklı olan iki alan olarak karşımızda. Malzemeleri, teknikleri, yöntemleri ve doğal olarak ürünleri farklı, ilk bakışta hemen göze çarpan ve rahatsızlık veren bu ayrılık, ortaklıkların varlığına engel değil. Matematik de sanat da, diğer bilimler gibi, insanın içine doğduğu ortamı ve bu ortam içinde kendine ne olup bitmekte olduğunu anlama çabası sonucu doğmuştur. Zaman zaman doğaya aykırı görünseler de iki alan da doğanın soyutlaması, yorumu hatta yeniden sunumudur. Sayılar denklemler bu halleriyle doğada yokturlar ama resimler ve heykeller gibi doğayı betimler ve düşüncemize yeniden sunarlar.

Mathart: Matematiksel sanat, matematiğin şaşırtıcı sonuçlarından biri (Yoksa sanatın şaşırtıcı sonuçlarından biri mi demeli? Sanatın kendisi zaten şaşırtıcı değil mi?) Bu sonucu karşımıza çıkaran kişiler matematiği yeni bir etkileşim atanına taşımak istiyorlar. Bu, sanatın etki alanıdır. Ne de olsa sanatın cazibesi daha çok kişiyi kendine çeker. Böylece daha çok insan matematiksel düşünceyi ve onun doğuracağı etkiyi paylaşabilir. Matematiksel sanat bu kendine has savıyla merak edilmeye değer. Fomenko, Ferguson ve Escher'in çalışmalarını incelemek, matematiğe ilgi duyan herkes için keyifli bir öğreti süreci olmaya aday.

güzel bir paylaşım eline sağlık.

çocuk zamanımda bir oyuncağım vardı içine bakarak mozaik yapılan desenler vardı her çevirdığım zaman ortaya değışık değışık desenler çıkıyordu ve hiç bir zaman şekiller tekrarlanmıyordu... incelemeye çalışıyordum ama tam olarak anlamamışım nasıl yapııyor nasıl bu desen oluşuyor... sonrda da, bu sene internette senin verdığın konuda resimler gördüm şimdı tekrar türkçesi okuyordum çok güzel bir paylaşım, okumakta zevk aldım garçekten.. teşekkür ederim... her yapılan çizim tamamen matematik, çizim yaparken zeka çalıştırıyor...

yararlı paylaşım için çok teşekkürler

matematiğin bu yönünü hiç düşünmemiştim

Gene çok güzel bir konu teşekkürler casmin..

ağzım açık kalmadı desem yalan olur. güzel bir paylaşım bizleri bilglendirdğin için tesekkür ederim

Çok güzel bir konu teşekkürler Casmin...